อัตราส่วนและร้อยละ
“อัตราส่วน” เป็นเนื้อหาในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานที่หลายคนคุ้นเคยและมักถูกใช้บ่อยๆในชีวิตประจำวัน น้องๆเคยไปซื้อของที่ห้างสรรพสินค้า แล้วลองเปรียบเทียบราคาสินค้าแต่ละยี่ห้อกันมั้ย เช่น ราคาของน้ำยาล้างจานยี่ห้อนี้ถูกหรือแพงกว่าอีกยี่ห้อ เมื่อซื้อในปริมาณเท่ากัน หรือไข่ไก่ร้านนี้ 10 ฟองราคา 70 บาทเทียบกับอีกร้านที่ขาย 12 ฟองแต่ราคา 80 บาท ร้านไหนขายถูกกว่ากัน ในขณะที่เรากำลังเปรียบเทียบราคาสินค้าอยู่นั้น เรากำลังใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนโดยไม่รู้ตัว
อัตราส่วน
“อัตราส่วน” คือ การเปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป ซึ่งปริมาณที่เอามาเปรียบเทียบกันนั้นจะมีหน่วยเดียวกันหรือต่างกันก็ได้ ซึ่งเราจะเขียนแทนในรูปของเศษส่วน ในทางคณิตศาสตร์จะเขียนได้ดังนี้
อัตราส่วน a ต่อ b เขียนแทนด้วย ab= a:b
กำหนดให้
a แทนปริมาณของสิ่งแรกที่นำมาเปรียบเทียบ
b แทนปริมาณของสิ่งที่สอง
และโดยที่ a>0 และ b>0
วิธีเขียนอัตราส่วน
- ถ้าเปรียบเทียบสองปริมาณที่มีหน่วยเดียวกัน ไม่นิยมเขียนหน่วยกำกับ
เช่น อัตราส่วนระหว่างแรงงานไทยต่อแรงงานต่างด้าว 1 : 25
- ถ้าต้องการเปรียบเทียบปริมาณที่หน่วยต่างกัน ต้องมีหน่วยกำกับ
เช่น อัตราส่วนระหว่างไข่ (ฟอง) ต่อราคา (บาท) เป็น 10 ฟอง : 60 บาท
- ถ้าปริมาณสองสิ่งสามารถทำให้เป็นหน่วยเดียวกัน ต้องปรับเป็นหน่วยเดียวกันก่อน
เช่น ความสูงหรือน้ำหนัก
เช่น นาย ก.สูง 170 ซม. นาย ข. สูง 1.60 เมตร เขียนในรูปอัตราส่วนได้ว่า 170 : 160 หรือ 1.70 : 1.60
อัตราส่วนที่เท่ากัน
“อัตราส่วนที่เท่ากัน” คือ อัตราส่วนที่แสดงอัตราเดียวกัน
ตัวอย่าง :
3 : 5 = 6 : 10 = 9 : 15 = 12 : 20
การคิดอัตราส่วนที่เท่ากัน
สามารถทำได้ 2 วิธี ได้แก่
- ใช้หลักการคูณ เป็นการนำจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์คูณเข้าไปในทุกจำนวนของอัตราส่วน จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม
ตัวอย่าง :
3/5 = 3×5/5×5 = 15/25
- ใช้หลักการหาร เป็นการนำจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์มาหารจำนวนทุกตัวในอัตราส่วน จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม
ตัวอย่าง :
75/125 + 75/125 หาร 25/25 = 3/5
การเปรียบเทียบการเท่ากันของอัตราส่วน
มีวิธีการตรวจสอบว่าอัตราส่วนนั้นๆ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากันหรือไม่ สามารถทำได้ 3 วิธี คือ
การทำส่วนให้เท่ากัน โดยใช้หลักการคูณ
การทำให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ ใช้หลักการเดียวกับการทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ คือการใช้หลักการหาร
การคูณไขว้ หลักการนี้เราจะใช้ตรวจสอบการเท่ากันเมื่อเรามีอัตราส่วนอยู่สองชุด และต้องการตรวจสอบว่าทั้งสองอัตราส่วนนั้นเท่ากันหรือไม่ หากได้ผลคูณเท่ากัน แสดงว่าอัตราส่วนทั้งสองเท่ากัน เช่น 2 : 4 และ 3 : 6 เมื่อนำมาคูณไขว้ดังรูป ผลคูณจะได้ 12 เท่ากัน แสดงว่าอัตราส่วนคู่นี้เท่ากัน
อัตราส่วนร้อยละ
“อัตราร้อยละ” คือ อัตราส่วนที่มีจำนวนหลังเท่ากับ 100 หรือเศษส่วนที่มีส่วนเป็น 100 นั่นเอง โดยที่จำนวนเศษและส่วนจะต้องมีหน่วยเดียวกันเท่านั้น
ตัวอย่าง : ร้อยละ 7 หรือ 7% หมายถึง 7 ใน 100 = 7 : 100 = 7/100
4/5 = 4/5 x 20/20 = 80/100 = 80%
สัดส่วน
“สัดส่วน” คือ ประโยคที่แสดงถึงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน
a : b = c : d อ่านว่า a ต่อ b เท่ากับ c ต่อ d
ตัวอย่าง :
ถ้าสัดส่วน 2/3 = 10/x จงหาค่าของ x
วิธีทำ ใช้หลักการคูณไขว้จะได้ว่า
2x = 10 x 3
x = 10 x 3/2
ดังนั้น x = 15
การหาอัตราส่วน 3 อัตราส่วน
การหาอัตราส่วนสามอัตราส่วน หรือเรียกกันว่า อัตราส่วนต่อเนื่อง
หมายความว่า เมื่อมีอัตราส่วนสองอัตราส่วนใดๆ ที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณของสามสิ่งเป็นคู่ๆ
เราจะสามารถหาอัตราส่วนของจำนวนทั้งสามจำนวนจากสองอัตราส่วนนั้น ด้วยการทำปริมาณของสิ่ง
ที่เป็นตัวร่วมในสองอัตราส่วนนั้นให้เป็นปริมาณที่เท่ากัน โดยใช้หลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน
อธิบายง่ายๆจากตัวอย่าง
ตัวอย่าง :
ถ้า a : b = 3 : 2 และ b : c = 2 : 5
เมื่อต้องการเขียนเป็นอัตราส่วน 3 อัตราส่วน a : b : c เราจะต้องหาตัวร่วมของสองอัตราส่วนก่อน
ในที่นี้คือ b และมีค่าเท่ากันคือ 2 เมื่อตัวร่วมมีค่าเท่ากัน ให้เขียนอัตราส่วนทั้งสามจำนวนได้เลย
ดังนั้นอัตราส่วนของ a : b : c = 3 : 2 : 5
หากตัวร่วมมีค่าไม่เท่ากัน
เราต้องหา ค.ร.น.ของตัวร่วมก่อน แล้วคูณอัตราส่วนของแต่ละอัตราส่วนใหม่ เมื่อได้ตัวร่วมเท่ากันแล้วก็สามารถเขียนอัตราส่วนสามอัตราส่วนได้เลย ลองดูตัวอย่างกันนะครับ
ถ้า a : b =7 : 5 และ b : c = 20 : 12 สามารถเขียนเป็นอัตราส่วน a : b : c ได้ดังนี้
- พิจารณาตัวร่วม คือ b
- b มีค่าเท่ากับ 5 และ 20 ซึ่งไม่เท่ากัน
- ดังนั้นต้องหาค.ร.น.ของ 5 และ 20 ซึ่งก็คือ 20
- จะได้ a : b = 7 x 4 : 5 x 4 = 28 : 20
- และ b : c = 20 : 12 อยู่แล้ว
- ดังนั้น b จึงมีค่าเท่ากับ 20 เท่ากันทั้งสองอัตราส่วนแล้ว
- เพราะฉะนั้นอัตราส่วน a : b : c = 28 : 20 : 12
จะเห็นว่าอัตราส่วน เศษส่วน และเปอร์เซนต์หรือร้อยละนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างแยกไม่ออก ถ้าพื้นฐานเรื่องเศษส่วนหรือร้อยละของเราดี เรื่องอัตราส่วนก็ไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งสำคัญที่ต้องไม่ลืม
คือ การฝึกทำโจทย์และแบบฝึกหัดอัตราส่วนอย่างสม่ำเสมอจะทำให้น้องๆ ได้เจอโจทย์ที่หลากหลาย และรู้วิธีพลิกแพลงและแก้ปัญหาเมื่อเจอโจทย์ยากๆ หรือถ้าทำแบบฝึกหัดเองแล้วยังไม่เข้าใจ จะถามเพื่อนก็ตอบไม่ได้ ถามครูก็ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนดี น้องๆ ลองเข้าไปดูคอร์สเรียนเรื่องอัตราส่วน จากพี่ๆ AT HOME กันได้ ตอบโจทย์คนที่ไม่มีเวลา ไม่เข้าใจ ต้องปูพื้นฐาน ไปจนถึงรู้เทคนิคในการแก้โจทย์กันเลยทีเดียว
<รูปหน้าปกคอร์สเรียนเรื่องอัตราส่วน ของ AT HOME>
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยเรื่องอัตราส่วน
ทองดีกู้เงินจากธนาคาร 20,000 บาท ธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อปีในอัตราคงที่ ทองดีจะต้องเสียดอกเบี้ยคิดเป็นเงินปีละกี่บาท
วิธีทำ
อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี เขียนสัดส่วนได้ดังนี้
5/100 = x/20,000
x = ( 5/100 ) 20,000
x = 1,000 บาท
ฉะนั้นทองดีต้องเสียดอกเบี้ย 1,000 บาท/ปี
โต๊ะตัวหนึ่งมีอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวเป็น 5 : 8 และ ความสูงต่อความยาวเท่ากับ 3 : 12 เขียนอัตราส่วนสามอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวต่อความสูง และอัตราส่วนของความกว้างต่อความสูงของโต๊ะตัวนี้ได้ว่าอย่างไร
วิธีทำ ความกว้าง : ความยาว 5 : 8
ความสูง : ความยาว 3 : 12
นั่นคือ ความยาว : ความสูง คือ 12 : 3
จะได้ ความกว้าง : ความยาว 5 : 8 = 5×3 : 8×3 = 15 : 24
ความยาว : ความสูง 12 : 3 = 12×2 : 3×2 = 24 : 6
ดังนั้น ความกว้าง : ความยาว : ความสูง = 15 : 24 : 6
ความกว้าง : ความสูง = 15 : 6
คำตอบ คือ อัตราส่วนความกว้างต่อความยาวต่อความสูงของโต๊ะ คือ 15 : 24 : 6
และอัตราส่วนความกว้างต่อความสูง คือ 15 : 6
มานีไปตลาดซื้อไข่เป็ด ไข่เป็ดของร้าน A ราคา 10 ฟอง 60 บาท และไข่เป็ดของร้าน B ราคา 15 ฟอง 75 บาท มานีควรเลือกซื้อไข่ร้านใด
วิธีทำ ราคาต่อหน่วยของไข่เป็ดร้าน A
= 60 บาท / 10 ฟอง= 6010
= 6 บาทต่อฟอง
ราคาต่อหน่วยของไข่เป็ดร้าน B
= 75 บาท / 15 ฟอง
= 7515
= 5 บาท/ฟอง
ดังนั้นไข่ร้าน B จึงถูกว่าร้าน A
ตอบ มานีจึงควรซื้อไข่ร้าน B เพราะราคาถูกกว่า
ตัวอย่าง นาย a ได้เงินวันละ 2 บาท นาย b ได้เงินวันละ 1 บาท
หมายความว่า อัตราส่วนเงินของนาย a ต่อ b เท่ากับ 2:1 หรือ 2/1
หรือพูดกันง่าย ๆ ว่านาย a มีเงินมากกว่านาย b อยู่ 2 เท่านั่นเอง
ถ้ายังไม่เข้าใจ อ่านประโยคด้านบนอีกครั้ง ให้เข้าใจก่อนที่จะไปตัวอย่างต่อไปนะครับ
ตัวอย่าง ฮีโร่ a มีพลังโจมตี 7 หน่วย ฮีโร่ b มีพลังโจมตี 4 หน่อย
หมายความว่า พลังโจมตีของฮีโร่ a ต่อ b เท่ากับ 7:4 หรือ 7/4 นั่นเอง
ตัวอย่างต่อไป จะเป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น ถ้ายังไม่เข้าใจ สองตัวอย่างด้านบนให้กลับขึ้นไปทำความเข้าใจก่อนนะครับ
ตัวอย่าง ถ้าในห้องเรียนห้องหนึ่งมีอัตราส่วนผู้ชายต่อผู้หญิง เป็น 2:1 ซึ่งห้องนี้มีผู้ชาย 12 คน ดังนั้นจะมีผู้หญิงอยู๋กี่คน
จากโจทย์ กำหนดให้อัตราส่วนผู้ชายต่อผู้หญิงเท่ากับ 2:1 หรือพูดง่ายๆ ว่ามีผู้ชายมากกว่าผู้หญิงอยู่ 2 เท่า
ถ้างั้นเรามาดูตารางจำนวนผู้ชาย และ ผู้หญิงในห้องเรียนอย่างง่าย ๆ กัน
ผู้ชาย 2 4 6 8 10 12 14
ผู้หญิง 1 2 3 4 5 6 7
ทั้งหมด 3 6 9 12 15 18 21
สังเกตว่า ถ้ามีผู้ชาย 12 คน จะมีผู้หญิงทั้งหมด 6 คนนั่นเอง
ตัวอย่างสุดท้าย ตัวอย่างนี้จะยากขึ้นหน่อยแต่ลองทำความเข้าใจดูนะครับ
ตัวอย่าง ถ้าในห้องเรียนห้องหนึ่งมีอัตราส่วนผู้ชายต่อผู้หญิง เป็น 5:3 ซึ่งห้องนี้มีผู้หญิง 18 คน ดังนั้นจะมีผู้ชายอยู่กี่คน
จากโจทย์จะกำหนดให้อัตราส่วนผู้ชายต่อผู้หญิงเท่ากับ 5:3
ผู้ชาย 5 10 15 20 25 30 35
ผู้หญิง 3 6 9 12 15 18 21
ทั้งหมด 8 16 24 32 40 48 56
แสดงว่า เมื่อมีผู้หญิง 18 คน จะมีผู้ชายทั้งหมด 30 คนนั่นเอง
อธิบายคือ ถ้ามีผู้หญิงเพิ่มขึ้นทุก 3 คน จะมีผู้ชายเพิ่มขึ้น 5 คน
ลองทำโจทย์กันเลย คลิ้ก ! ที่รูปด้านล่าง
ลองทำโจทย์
การหาอัตราส่วนที่เท่ากัน
จากหัวข้อที่ผ่านมา จะเห็นว่าอัตราส่วน 2 อัตราส่วนที่หน้าตาแตกต่างกัน อาจจะมีสัดส่วนที่เท่ากันได้
ยกตัวอย่างง่าย ๆ
อัตราส่วน 1:2 กับอัตราส่วน 2:4 มองด้วยตาเปล่าแล้วอาจจะเห็นว่าอัตราส่วนทั้งสองอันนี้ไม่เท่ากัน แต่จริง ๆ แล้วอัตราส่วนคู่นี้ มีค่าเท่ากัน
- หลักการคูณ การหาอัตราส่วนที่เท่ากันจากการคูณทำได้โดยนำจำนวนใด ๆ ที่ไม่เท่าศูนย์คูณเข้าไปในจำนวนอัตราส่วน จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับส่วนเดิม
A/B = (A X C)/ (B X C ) เมื่อ C ≠ 0
ตัวอย่าง จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 2:3
จากหัวข้อที่แล้ว เราสามารถเขียนอัตราส่วน 2:3 ได้เป็น 2/3 จากนี้เราขอเขียนอัตราส่วนต่าง ๆ ในรูป a/b เพื่อให้สามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น
วิธีทำ การหาอัตราส่วนที่เท่ากับ 2/3 โดยใช้หลักการคูณ กำหนดจำนวนใด ๆ มาคูณ ในที่นี้ใช้ 4 และ 6 เป็นตัวคูณ
อัตราส่วนที่เท่ากับ 2/3 ชุดที่ 1 โดยใช้ 4 คูณตลอด
2/3 = (2 x 4)/(3 x 4) = 8/12
อัตราส่วนที่เท่ากับ 2/3 ชุดที่ 2 โดยใช้ 6 คูณตลอด
2/3 = (2 x 6)/(3 x 6) = 12/18
อัตราส่วนที่เท่ากับ 2/3 ในที่นี้คือ 8/12 และ 12/18
- หลักการหาร การหาอัตราส่วนที่เท่ากันจากการหารทำได้โดยนำจำนวนใด ๆ ที่ไม่เท่าศูนย์มาหารไปในจำนวนอัตราส่วน จะได้อัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับส่วนเดิม
A/B = (A ÷ C)/(B ÷ C ) เมื่อ C ≠ 0
ตัวอย่าง จงหาอัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 15:45
วิธีทำ การหาอัตราส่วนที่เท่ากับ 15/45 โดยใช้หลักการคูณ กำหนดจำนวนใด ๆ คูณ ในที่นี้ใช้ 5 และ 15 เป็นตัวคูณ
อัตราส่วนที่เท่ากับ 15/45 ชุดที่ 1 โดยใช้ 5 หารตลอด
15/45 = (15 ÷ 5)/(45 ÷ 5 ) = 3/9
อัตราส่วนที่เท่ากับ 15/45 ชุดที่ 2 โดยใช้ 15 หารตลอด
15/45 = (15 ÷ 15)/ (45 ÷ 15 ) = 1/3
อัตราส่วนที่เท่ากับ 15/45 ในที่นี้คือ 3/9 และ 1/3
ดูเนื้อหาการคูณไคว้บน YOUTUBE
- การคูณไขว้เพื่อตรวจสอบการเท่ากัน
การคูณไขว้เพื่อตรวจสอบการเท่ากัน ใช้เมื่อเรามีอัตราส่วน อยู่ 2 ชุด และต้องการตรวจสอบว่าทั้ง 2 เท่ากันหรือไม่ โดยใช้การคูณไขว้
ถ้า A/B = C/D แล้ว AD = BC เมื่อ B≠0 และ D≠0
ตัวอย่าง จากตัวอย่างด้านบน เรามาตรวจสอบกันว่าอัตราส่วนที่ได้มา เท่ากันจริงหรือไม่
ตรวจสอบว่าอัตราส่วน 2/3 อัตราส่วน 8/12 หรือไม่
จากสูตร ถ้า a/b = c/d แล้ว ad = bc
ตรวจสอบ 2/3 กับ 8/12
จะได้ว่า 2(12) = 3(8) ซึ่งมีค่าเท่ากัน
เพราะฉะนั้นอัตราส่วน 2/3 อัตราส่วน 8/12
สัดส่วน
เป็นประโยคที่แสดงถึงการเท่ากันของอัตราส่วน โดยมีคูณสมบัติดังนี้
a/b = c/d แล้ว b/a = d/c และ a/c = b/d เมื่อ a,b,c และ d ≠ 0
ร้อยละ เปอร์เซ็นต์
ร้อยละ หมายถึง อัตราส่วนที่เปรียบเทียบส่วนเท่ากับ 100
โดยสามารถเขียนได้อยู่ในลักษณะ เปอร์เซ็นต์ (%) เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ
อธิบาย ก็คือ จำนวนอัตราส่วนที่มีส่วนเท่ากับ 100 เท่านั้น ถ้าเรามีอัตราส่วนที่ไม่ได้มีส่วนเท่ากับ 100 ก็ต้องปรับ โดยมีวิธีการได้หลายวิธี ดังนี้
ตัวอย่าง อัตราส่วน 8:25 เขียนเป็นร้อยละได้เท่าไหร่
วิธีการที่ 1
อัตราส่วน 8:25 สามารถเขียนได้เป็น 8/25 ต้องทำให้ส่วนเป็น 100 จึงใช้หลักการคูณ
หาว่าต้องใช้จำนวนใดคูณทำให้ส่วนเป็น 100 ในที่นี้เท่ากับ 4
8/25 = (8 x 4)/(25 x 4 ) = 32/100
แสดงว่าอัตราส่วน 8:25 คิดเป็น ร้อยละ 32 หรือ 32%
วิธีการที่ 2 การคิด ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์
ร้อยละ หรือ % = (เศษ/ส่วน) x 100
แสดงว่าอัตราส่วน เปลี่ยนเป็นร้อยละได้จากสูตร
ร้อยละ = (8/25) x 100 = 0.32 x 100 = 32
แสดงว่าอัตราส่วน 8:25 คิดเป็น ร้อยละ 32 หรือ 32%
หมายเหตุ : ข้อควรระวัง ! จะไม่ใช้คำว่าร้อยละ และ % พร้อมกัน จะไม่มีการเขียนว่า ร้อยละ 32% มีแต่ ร้อยละ 32 หรือ 32% เท่านั้น