ทศนิยม

คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค 21101 มัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 1

About Lesson

ทศนิยม

ทศนิยม หมายถึง การเขียนตัวเลขประเภทเศษส่วนเป็น 10 หรือ 10 ยกกำลัง ต่าง ๆ แต่เปลี่ยนรูปจากเศษส่วนมาเป็นรูปทศนิยม โดยใช้เครื่องหมาย . (จุด)แทน

การอ่านทศนิยม

เลข ที่อยู่หน้าทศนิยมเป็นเลขจำนวนเต็ม อ่านเช่นเดียวกับตัวเลขจำนวนเต็มทั่วไป ส่วนตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นเลขเศษของเศษส่วนซึ่งมีค่าไม่ถึงหนึ่ง อ่านตามลำดับตัวเลขไปเช่น 635.1489 อ่านว่า หกร้อยสามสิบห้าจุดหนึ่งสี่แปดเก้าถ้าเลขจำนวนนั้นไม่มีจำนวนเต็ม จะเขียน 0 (ศูนย์) ไว้ตำแหน่งหลักหน่วยหน้าจุดได้ เช่น .25 เขียนเป็น 0.25 ก็ได้

การกระจายทศนิยม

457.35 =400 + 50 + 7 + 0.3 + 0.05

การเรียกตำแหน่งทศนิยม

ถ้ามีตัวเลขหลังจุดทศนิยมกี่ตัว ก็เรียกเท่านั้นตำแหน่งเช่น

0.4 , 15.3 , 458.6 เรียกว่า ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

0.25 , 25.36 , 25.18 เรียกว่า ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

การปัดเศษทศนิยม

มีหลักดังนี้

5.1 ถ้าตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีค่าตั้งแต่ 6 ขึ้นไป จะปัดทบเข้ากับตัวเลขหน้า เช่น 56.38 = 56.4

5.2 ถ้าตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีค่าตั้งแต่ 4 ลงมา จะปัดตัวเลขนั้นทิ้งไป เช่น 56.32 = 56.3

5.3 ถ้าตัวเลขทศนิยมที่พิจารณา มีค่าเท่ากับ 5 มีวิธีปัดทศนิยม 2 วิธีคือ

5.4.) ถ้าทศนิยมหน้าเลข 5 เป็นเลขคู่ ก็ตัดตัวเลข 5 ทิ้ง เช่น 4.65= 4.6

5.5. ) ถ้าทศนิยมหน้าเลข 5 เป็นเลขคี่ ให้ปัดทศนิยมขึ้น เช่น 0.75 = 0.8

ทศนิยม และเศษส่วน

6.1 การเขียนทศนิยมให้เป็นเศษส่วน

ตัวอย่าง จงเขียน 2.5 ให้เป็นเศษส่วน

วิธีทำ 2.5 = 2 กับ 5 ใน 10

ดังนั้น

6.2 การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม

1.) เศษส่วนที่มีส่วนเป็น 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกำลัง สามารถเปลี่ยนเป็นทศนิยมได้เลย เช่น 75/100 = 0.75

2.) เศษส่วนที่ไม่มีส่วนเป็น 10 หรือ 100 หรือ 10 ยกกำลัง ให้เปลี่ยนเป็นเศษส่วนที่มีส่วนเป็น 10 หรือ 100

หรือ 10 ยกกำลังก่อนเช่น

การบวกและการลบทศนิยม

– หลักเกณฑ์การบวกหรือลบทศนิยม

ต้องตั้งจุดทศนิยมของจำนวนที่จะบวกหรือลบกันให้ตรงกัน
ในกรณีที่ตำแหน่งของทศนิยมไม่ว่าจะเป็นตัวตั้ง ตัวบวก หรือตัวลบไม่เท่ากันให้เติมศูนย์ลงไปให้แหน่งเท่ากันได้ เพื่อไม่ให้ผิดพลาดในการยืมเลข
การหาผลบวกระหว่างทศนิยมที่เป็นบวกให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนบวก
การหาผลบวกระหว่างทศนิยมที่เป็นลบให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนลบ
การหาผลบวกระหว่างทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกันโดยให้เอาตัวที่มีค่ามากกว่าตั้ง แล้วตอบเป็นจำนวนบวกหรือลบตามจำนวนค่าสัมบูรณ์ที่มีค่าสมบูรณ์มากกว่า

หมายเหตุ การเติมศูนย์ ข้างท้ายทศนิยมนี้ ค่าของทศนิยมจะไม่เปลี่ยนไป เศษส่วนทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้เสมอ

เช่น 2.8 เราสามารถเติม 0 ต่อท้ายเลข 8 ได้โดยค่าไม่เปลี่ยนจะเป็น 2.800 ได้ 0 เรียกว่าทศนิยมซ้ำ

การบวกทศนิยม

จะมี 3 กรณี คือ

กรณีที่ 1 การบวกทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับจำนวนบวก

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 17.26 กับ 205.357

แนวคิด ตามหลักการข้อ1 ข้างบน คือตั้งจุดทศนิยมให้ตรงกันจะได้

17.26 + 205.357

จะเห็นว่าตัวตั้งจำนวนทศนิยมน้อยกว่าเพื่อไม่ให้การบวกคลาดเคลื่อน เราสามารถเติม 0 ท้ายเลข 6 ได้จะเป็น

17.260+

205.357

222.617

ตอบ 222.617

กรณีที่ 2 การบวกทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ -21.14 + 17.258

แนวคิด ให้ใช้หลักเกณฑ์การบวกลบทศนิยมข้อ 5 คือ เอาค่าสัมบูรณ์มาลบกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวกหรือลบตามจำนวนค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า นั่นคือ

– ค่าสัมบูรณ์ของ -21.14 คือ 21.14

– ค่าสัมบูรณ์ของ 17.258 คือ 17.258

จะได้ 21.140 – เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

17.258

3.882

– เนื่องจาก – 21.14 มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า 17.258 แสดงว่าข้อนี้ตอบเป็นลบ คือตอบ = -3.882

ตอบ -3.882

กรณีที่ 3 การบวกทศนิยมที่เป็นจำนวนลบกับจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกของ (-121.14) + (-107.258)

แนวคิด ให้ใช้หลักเกณฑ์การบวกลบทศนิยมข้อ 4 คือ เอาค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนลบ นั่นคือ

– ค่าสัมบูรณ์ของ -121.14 คือ 121.14

– ค่าสัมบูรณ์ของ -107.258 คือ 107.258

จะได้ 121.140 + เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

107.258

138.398

นั่นคือ (-121.14) + (-107.258) = -138.698

ตอบ -138.398

การลบทศนิยม

จะมี 3 กรณี คือ

กรณีที่ 1 การลบทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับจำนวนบวก

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลบของ 32.266 – 21.45

แนวคิด ให้ใช้หลักเกณฑ์การลบเลขจำนวนเต็มตามปกติ เพราะตัวตั้ง

มีค่ามากกว่าตัวลบอยู่แล้ว นั่นคือ

วิธีทำ 32.266 –

21.450 เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

10.816

ตอบ 10.816

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของ 32.27 – 19.489

แนวคิด ใช้วิธีการเดียวกันตัวอย่างที่ 1 นั่นคือ

32.270 – เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

19.489

12.781

ตอบ 12.781

กรณีที่ 2 การลบทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลบของ 32.266 – (-21.45)

แนวคิด จากโจทย์จะเห็นว่ามีเครื่องหมายลบซ้อนกันคือ ลบด้วยลบ 21.45 หลักการคือการลบกับการลบให้เปลี่ยนเป็นการบวก นั่นคือ จะได้ 32.266 + 21.45

วิธีทำ 32.266+

21.450 เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

53.716

ตอบ 53.716

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของ 12.26 – (-28.459)

แนวคิด จากโจทย์จะเห็นว่ามีเครื่องหมายลบซ้อนกันคือ ลบด้วยลบ 28.459 หลักการคือการลบกับการลบให้เปลี่ยนเป็นการบวก นั่นคือ จะได้ 12.26 + 28.459

วิธีทำ 12.260+

28.459 เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

40.419

ตอบ 40.419

กรณีที่ 3 การลบทศนิยมที่เป็นจำนวนลบกับจำนวนลบ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลบของ -12.26 – 28.459

– ค่าสัมบูรณ์ของ -12.26 คือ 12.26

– ค่าสัมบูรณ์ของ -28.459 คือ 28.459

จะได้ 12.260 + เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

28.459

40.719

นั่นคือ -12.26 -28.459 = -40.719

ตอบ -40.719

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของ -312.26 – 218.4059

– ค่าสัมบูรณ์ของ -312.26 คือ 312.26

– ค่าสัมบูรณ์ของ -218.4059 คือ 218.4059

จะได้ 312.2600 + เติม 0 ตามหลักเกณฑ์ ข้อ 2

218.4059

530.6659

นั่นคือ -312.26 -218.4059 = -530.6659

ตอบ -530.6659

การบวกและลบทศนิยมระคน

แนวคิด

การบวกลบระคนหมายถึงในโจทย์ข้อเดียวจะมีทั้งการบวกและการลบปนกันอยู่ มีหลักการว่าให้เอาจำนวนที่เป็นบวกมารวมกับจำนวนที่เป็นบวก และจำนวนที่เป็นลบมารวมกับจำนวนที่เป็นลบ จากนั้นนำค่าสมบูรณ์ทั้งสองจำนวนมาลบกันโดยให้เอาจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าตั้งลบด้วยจำนวนที่น้อยกว่า การตอบจำนวนใดที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าเครื่องหมายจะเป็นของจำนวนนั้น เช่น

ตัวอย่างที่ 1 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ –312.26 + 218.4059- 20.5687+325.451

วิธีทำ จากแนวคิดให้นำเครื่องหมายเดียวกันมารวมกันจะได้ ดังนี้

= {(-312.26)+(-20.5687)}+{(21.4059+325.451)}

= {-332.8287}+{346.8569}

= -332.8287+346.8569

มาถึงตรงนี้จะไปเข้าหลักเกณฑ์ข้อที่ 5 ข้างบน ที่ว่า.- (5. การหาผลบวกระหว่างทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกกับทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกันโดยให้เอาตัวที่มีค่ามากกว่าตั้ง แล้วตอบเป็นจำนวนบวกหรือลบตาม จำนวนค่าสัมบูรณ์ที่มีค่าสมบูรณ์มากกว่า ) จะได้

– ค่าสัมบูรณ์ของ -332.8287 คือ 332.8287

– ค่าสัมบูรณ์ของ 346.8569 คือ 346.8569

346.8569 – เอาตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าตั้ง

332.8287

14.0282

นั่นคือ -332.8287+346.8569 = 14.0282

– ข้อนี้ตอบเป็นบวกเพราะค่าสัมบูรณ์ของ +346.8569 มากกว่า –332.8287

ตอบ 14.0282

ตัวอย่างที่ 2 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ –312.26 + 218.4059- 20.5687-325.451

วิธีทำ จากแนวคิดให้นำเครื่องหมายเดียวกันมารวมกันจะได้ ดังนี้.-

= {(-312.26)+(-20.5687)+(-325.451)}+218.4059

= {-658.2797}+218.4059

= -658.2797+218.4059

ถึงตรงนี้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกันเอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าตั้งจะได้

– ค่าสัมบูรณ์ของ -658.2797 คือ 658.2797

– ค่าสัมบูรณ์ของ 218.4059 คือ 218.4059

658.2797 – เอาตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าตั้ง

218.4059

409.8738

นั่นคือ -658.2797+218.4059 = -409.8738

– ข้อนี้ตอบเป็นลบเพราะค่าสัมบูรณ์ของ -658.2797 มากกว่า 218.4059

ตอบ -409.8738

เศษส่วนกับทศนิยม

เศษส่วนกับทศนิยมมีความสัมพันธ์กัน เราสามารถเขียนเศษส่วนให้เป็นในรูปทศนิยมได้ หรือเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยมให้เป็นเศษส่วนได้

จำนวนใด ๆ ก็ตาม ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนคือ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ≠ 0 เราจะเรียกจำนวนนั้นว่า จำนวนตรรกยะ(rational number)

เราสามารถเขียนเศษส่วนจำนวนใด ๆ ให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เช่น

เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เป็น 0.2

เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เป็น 0.32

เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เป็น 0.4

เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เป็น 3.4

เขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้เป็น เป็นต้น

หลักการเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปของทศนิยมสำหรับเศษส่วนเป็นจำนวนบวก

แบ่งออกเป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1) กรณีที่เศษส่วนนั้น ๆ มีส่วนเป็น 10,100,1000,…เช่น

เขียนในรูปทศนิยมเป็น 0.2
เขียนในรูปทศนิยมเป็น 0.02
เขียนในรูปทศนิยมเป็น 0.002 ได้ทันที

จากข้อ 1. – 3. ให้พิจารณาจำนวนตำแหน่งของทศนิยม ถ้าส่วน 10 ทศนิยม 1 ตำแหน่ง ถ้าส่วน 100 ทศนิยม 2 ตำแหน่ง และถ้าส่วนด้วย 1000 ทศนิยม 3 ตำแหน่ง ฯลฯ

นั้นคือจำนวนตำแหน่งของทศนิยมจะเท่ากับจำนวนเลข 0

2.1 ให้เราหาจำนวนใด ๆ ที่มาคูณกับส่วนแล้วส่วนกลายเป็นส่วน10,ส่วน 100 หรือส่วน 1000 ให้ได้ โดยดำเนินการดังนี้คือ

2.1.1 กรณีเศษเป็นส่วนแท้

= 0.8 – เอา 2มาคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อไม่ให้ค่าเปลี่ยนไปต้องคูณทั้งเศษและส่วน

= 0.75 – เอา 25 มาคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อไม่ให้ค่าเปลี่ยนไปต้องคูณทั้งเศษและส่วน

2.2 กรณีที่ไม่สามารถหาจำนวนใด ๆ มาคูณแล้วเป็นไปตามข้อ 2.1 คือทำส่วนให้กลายเป็นส่วน10,ส่วน 100 และส่วน 1000 ได้ ให้ดำเนินการเอาตัวส่วนไปหารเศษแบบตั้งหารดังตัวอย่างข้างล่างนี้

2.2.1 ทศนิยมซ้ำ คือจำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้ ตัวอย่างเช่น 1/3 = 0.333333… (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)

สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อน ถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000… = 0.56

ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999… = 1 หรือ 1.77999999… = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333… = 0.999999… ดูเพิ่มที่ 0.999…

ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ k / (2m5n) ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์

ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้สัญกรณ์ ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น 1/3 = 0.3 หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น

1/9 = 0.111111111111…
1/7 = 0.142857142857…
1/3 = 0.333333333333…
1/81 = 0.0123456790…
2/3 = 0.666666666666…
7/12 = 0.58333333333…

ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น

2/3 = 0. (6)
1/7 = 0. (142857)
7/12 = 0.58 (3)

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้

1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน

ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ

การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น

2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…

ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลข หลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ

1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12

โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่

1/13 = 0.076923…
3/13 = 0.230769…
4/13 = 0.307692…
9/13 = 0.692307…
10/13 = 0.769230…
12/13 = 0.923076…

และอีกชุดหนึ่งได้แก่

2/13 = 0.153846…
5/13 = 0.384615…
6/13 = 0.461538…
7/13 = 0.538461…
8/13 = 0.615384…
11/13 = 0.846153…

การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้

ดังตัวอย่าง

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง

และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น

0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “4″ ซึ่งมี 1 หลัก
0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “56″ ซึ่งมี 2 หลัก
0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “789″ ซึ่งมี 3 หลัก

ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น

0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “4″ และนำด้วย “0″ จำนวน 3 หลัก
0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “56″ และนำด้วย “0″ จำนวน 2 หลัก
0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ “789″ และนำด้วย “0″ จำนวน 1 หลัก

สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง

1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665

อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง

หลักการเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปของทศนิยมสำหรับเศษส่วน

เป็นจำนวนลบ

ในกรณีที่เศษส่วนเป็นจำนวนลบ ( – ) ทศนิยมจะเป็นจำนวนลบด้วย ส่วนวิธีการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมดำเนินการเช่นเดียวกับเศษส่วนที่เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น:-

เขียนในรูปทศนิยมเป็น -0.3 = -1+ = -1+0.3 = -1.3

เขียนในรูปทศนิยมได้ = -1.3

สรุปง่าย ๆ คือ ยกเครื่องหมายลบ( – ) ออกมาแล้วดำเนินการแปลงเหมือนกันกับจำนวนที่เป็นบวก คือเหมือน การณีที่ 1) หรือ กรณีที่ 2) เมื่อได้คำตอบแล้วก็ติดเครื่องหมายลบเข้าไป

หลักการเขียนทศนิยมกลับมาเป็นเศษส่วน

เราสามารถที่จะแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนได้เช่นเดียวกับการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม เช่น

1) – 0.3 เขียนในรูปเศษส่วนได้ =

2) 0.45 เขียนในรูปเศษส่วนได้ =

3) 1.105 เขียนในรูปเศษส่วนได้ =

จะเห็นได้ว่าทศนิยมที่แปลงกลับไปเป็นเศษส่วน ตัวส่วนจะมีเลขศูนย์ที่ต่อท้ายเลข 1 เท่ากับจำนวนตำแหน่งของทศนิยม อย่างในข้อ 3 ) มีทศนิยม สามตำแหน่งตัวส่วนก็จะเป็น 1000 ลองดูต่อที่ข้อ 2) และข้อ 1) ประกอบ

การเปรียบเทียบทศนิยม

การเปรียบเทียบจำนวนที่อยู่ในรูปของทศนิยม ดำเนินการได้ 2 กรณี คือ

1) กรณีเปรียบเทียบทศนิยมบวก ให้ดำเนินการดังนี้

1.1 ให้เรานำทศนิยมที่จะเปรียบเทียบมาเขียนเรียงกันคนละบรรทัดโดยให้จุดทศนิยมตรงกัน เช่น

2.357

3.26

1.2 พิจารณาตัวเลขโดดแต่ละหลัก โดยให้พิจารณาหลักที่อยู่ทางซ้ายมือสุดเราก่อน ตรงนี้ไม่ต้องไปสนใจจุดทศนิยม จำนวนใดที่มีค่าของตัวเลขโดดมากกว่า ทศนิยมจำนวนนั้นจะมากกว่า

2.357

3.26

กรณีทศนิยมสองจำนวนนี้ 3 > 2 แสดงว่า 3.26 มีค่ามากกว่า 2.357

1.3 ในกรณีที่หลักซ้ายมือสุดตามข้อ 1.2 เท่ากัน ให้พิจารณาหลักถัดมาทางขวามือของเรา และถ้าเท่ากันอีกก็ให้พิจารณาหลักถัดมาทางขวามืออีก ทำไปเรื่อย ๆ เช่น จนเจอตัวเลขโดดที่มากกว่า

3.5675

3.658

– จากตัวอย่างข้างบน 3 (อยู่ทางซ้ายมือสุดตามกติกาข้อ 1.1) เท่ากันเลื่อนมาดูเลขโดดหลักถัดมาทางขวามือคือ 5 กับ 6 จะเห็นว่า 6 > 5

นั่นคือ 3.658 มากกว่า 3.5675

หรือ จงเปรียบเทียบ 5.2358 กับ 5.2349

5.235

5.2349

นั่นคือ 5.235 มากกว่า 5.2349 เนื่องจากหลักที่ 1 , 2 , 3 เรียงจากทางซ้ายมือสุดมาตามลำดับ เท่ากัน แต่หลักที่ 4 คือ 5 > 4 จึงทำให้ 5.235 มากกว่า 5.2349

ตอบ 5.235 > 5.2349

2) กรณีเปรียบเทียบทศนิยมลบ ให้ดำเนินการดังนี้

2.1 ให้นำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละจำนวนมาเปรียบเทียบกัน และให้ดำเนินการเหมือนกับข้อ 1) ทุกประการ แต่เมื่อเปรียบเทียบกันแล้วจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจะมีค่ามากกว่า เช่น

ตัวอย่าง จงเปรียบเทียบ -3.452 กับ -2.542 จำนวนใดมีค่ามากกว่ากัน

แนวคิด ค่าสัมบูรณ์หมายถึงค่าที่ไม่มีเครื่องหมายติดลบ เช่น -3.452 ค่าสัมบูรณ์

คือ 3.452 และ -2.542 ค่าสัมบูรณ์คือ 2.542

– นั่นคือให้เราเอาเครื่องหมายลบออกไปไว้ที่อื่นก่อนนั่นเอง

วิธีทำ -3.452 ค่าสัมบูรณ์คือ 3.452

-2.542 ค่าสัมบูรณ์คือ 2.542

พิจารณาตามข้อ 1) ข้างบน จะเห็นว่า 3.452 > 2.542

-2.542 > -3.452

ตัวอย่าง จงเรียงลำดับทศนิยมต่อไปนี้จากมากไปหาน้อย -2.536,-1.724,-1.731,0.563,0.51

แนวคิด ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทศนิยมแต่ละคู่มาเทียบกันก่อน โดยใช้วิธีการตามที่กล่าวไว้ในข้อ 1) และข้อ 2) ข้างบน ดังนี้

1) 0.563 > 0.51

2) 0.51 > -1.724

3) -1.724 > -1.731

4) -1.731 > -2.536

ดังนั้นเราสามารถเรียงลำดับจากมากไปหาน้อยได้ดังนี้

0.563 , 0.51 , -1.724 , -1.731 , -2.536

สรุป เมื่อเราดำเนินการตามแนวคิดข้างบนแล้ว เราจะเรียบจากน้อยไปหามาก

เศษส่วนและการเปรียบเทียบเศษส่วน

การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกและการลบเศษส่วน ไม่เหมือนการบวกลบในตัวเลขจำนวนเต็ม สำหรับเลขจำนวนเต็ม สามารถลบกันได้เลย แต่การบวกและการลบแบบเศษส่วน จะต้องทำให้ส่วนเท่ากันเสียก่อน จึงจะสามารถบวกลบกันได้ การบวกลบเศษส่วนของจำนวน 2 จำนวนที่มีส่วนเท่ากันให้นำเศษมาบวกกัน ตัวเลขที่เป็นส่วน คงไว้เท่าเดิม (เศษ หมายถึงตัวเลขข้างบน ส่วน หมายถึงตัวเลขข้างล่าง) ดังนั้น เอาเฉพาะตัวเลขข้างบนบวกลบกัน ตัวเลขข้างล่าง คงไว้เท่าเดิม

การบวกลบเศษส่วนแบ่งออกเป็น 2 กรณี ดังนี้

การบวกและการลบเศษส่วนเท่ากัน

ให้นำตัวเศามาบวกหรือลบกันตามเครื่องหมาย แล้วตัวส่วนคงเดิม

การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน

ใช้วิธีทำให้ตัวส่วนเท่ากันก่อน แล้วจึงนำตัวเศษมาบวกหรือลบกัน

การคูณและการหารเศษส่วน

การคูณเศษส่วน

หลักการคูณเศษส่วน มีดังนี้

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนนับ ให้นำจำนวนนับมาคูณกับตัวเศษ โดยตัวส่วนคงเดิม หรือถ้าตัวส่วนหารจำนวนนับลงตัว ให้นำตัวส่วนหารจำนวนนับแล้วจึงคูณกับตัวเศษ

การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน ให้นำตัวเศษคูณกับตัวเศษ และนำตัวส่วนคูณกับตัวส่วน หรือถ้ามีตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน ให้นำตัวประกอบร่วมมาหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนก่อ

การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนคละ ใช้วิธีทำจำนวนคละให้เป็นเศษเกินก่อน แล้วจึงนำตัวเศษคูณกับตัวเศษ และนำตัวส่วนคูณกับตัวส่วน

การหารเศษส่วน

การหารเศษส่วน การหารจำนวนใดๆ ด้วยเศษส่วน อาจคิดได้จากการนำจำนวนนั้นมาคูณกับส่วนกลับของเศษส่วนที่เป็นตัวหาร และการหารเศษส่วนด้วยจำนวนนับอาจคิดได้จากการคูณเศษส่วนที่เป็นตัวตั้งกับส่วนกลับของจำนวนที่เป็นตัวหาร

หลักการหารเศษส่วน มีดังนี้

การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วนคือ การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกัน หาคำตอบได้จากการคูณจำนวนนั้นกับส่วนกลับของเศษส่วนที่เป็นตัวหาร

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มคือ การแบ่งเศษส่วนที่มีอยู่ออกเป็นส่วนเท่าๆกัน คิดได้จากการคูณเศษส่วนที่เป็นตัวตั้งกับส่วนกลับของจำนวนนับที่เป็นตัวหาร

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนคละ คือ การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกัน แต่ในการหาคำตอบต้องทำจำนวนคละให้เป็นเศษเกินก่อน

อ้างอิงจาก

นางสาวจิรารัตน์ เจริญรูป 5615020001076

คณะครุศาสตร์ สาขาคณิตศาสตร์

มหาวิทยาลัยราชภัฏสุราษฎร์ธานี

http://www.tutormathphysics.com/index.php/component/content/article/165-math-p5-1-no7/1346-math-p5-1-no7-1.html