เรขาคณิตเบื้องต้น
- จุด : เราใช้จุดแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆ และเพื่อความเข้าใจตรงกัน เราสามารถตั้งชื่อจุดโดยใช้ตัวอักษรภาษาไทยหรือภาษาอังกฤษ
- ระนาบ : หมายถึงพื้นที่ผิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปไม่สิ้นสุด ส่วนที่เราเห็นขอบเขตจะเป็นเพียง “ส่วนของระนาบ” เท่านั้น การกำหนดระนาบต้องใช้จุด อย่างน้อยสามจุดขึ้นไปโดยที่สามจุดนั้นต้องไม่อยู่ร่วมบนเส้นตรงเดียวกัน
- เส้นตรง : เป็นเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด
- ส่วนของเส้นตรง : เกิดจากการกำหนดจุดสองจุด แล้วลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง โดยจุดทั้งสองมีชื่อเรียกว่า “จุดปลาย”
- รังสี : การลากเส้นตรงจากจุดๆหนึ่ง (สมมติให้ชื่อว่า A)ต่อไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้นขึ้นเรียกว่า “รังสี” ถ้าเราลากเส้นตรงต่อไปเรื่อยผ่านจุด B เราจะเรียกรังสีนี้ว่า รังสี AB
- เส้นโค้ง : ถ้าเราลากเส้นบนกระดาษลักษณะใดก็ตาม เส้นที่เกิดขึ้นจะเรียกว่าเส้นโค้ง ซึ่งไม่จำเป็นต้องโค้งตามความหมายในภาษาไทยก็ได้
- มุม : เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกจุดนั้นว่า “จุดยอดมุม” ส่วนรังสีแต่ละเส้นเรียกว่า “แขนของมุม”
- เส้นขนาน : เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกัน จะขนานกันต่อเมื่อสองเส้นนี้ไม่ตัดกัน
เรขาคณิตสองมิติ
“เรขาคณิต 2 มิติ” คือ รูปเรขาคณิตที่แสดงความกว้างและความยาวของรูป มีอยู่ด้วยกัน 4 ชนิด ได้แก่
1.รูปสี่เหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสี่ด้าน สี่มุม และมุมภายในทั้งหมดรวมกันได้ 360 องศา
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นฉาก มีด้านเท่ากันสองคู่ และด้านตรงข้ามกันขนานกัน
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกมุมเป็นมุมฉากและด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า :
รูปสี่เหลี่ยมที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน แต่ด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมไม่เป็นมุมฉาก มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกันสองคู่ และมุมตรงข้ามยาวเท่ากัน
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน :
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน และทุกมุมไม่เป็นมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดยาวเท่ากันสองคู่ มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก และมีมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู :
รูปสี่เหลี่ยมที่ด้านขนานกันคู่เดียว
( รอใส่รูป 1 )
- รูปสามเหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสามด้าน สามมุม โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา แบ่งได้สองลักษณะ
คือ แบ่งตามลักษณะของด้าน และแบ่งตามลักษณะของมุม
2.1 แบ่งตามลักษณะของด้าน
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีสามด้านยาวไม่เท่ากันเลย
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน
2.2 แบ่งตามลักษณะของมุม
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม
(มุมที่มีขนาดมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 90 องศา)
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมป้าน
(มุมที่น้อยกว่า 180 แต่มากกว่า 90 องศา)
( รอใส่รูป 2 )
- รูปวงกลม : เป็นรูปปิดที่ไม่มีมุม วาดโดยการกำหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมาหนึ่งจุด จากนั้นลากเส้นโค้งให้มีระยะห่างจากจุดนั้นเท่ากันโดยตลอด วาดวนไปรอบจุดศูนย์กลางจนกระทั่งกลับมายังจุดเริ่มต้น โดยมีส่วนประกอบดังต่อไปนี้
จุดศูนย์กลาง :
จุดที่อยู่ตรงกลาง มีระยะห่างจากเส้นรอบวงเท่ากันโดยตลอด ในวงกลมหนึ่งวงจะมีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียว
เส้นผ่านศูนย์กลาง :
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่งโดยผ่านจุดศูนย์กลาง โดยเส้นผ่านศูนย์กลางจะยาวเป็นสองเท่าของรัศมี
เส้นรอบวง :
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง
รัศมี :
ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลม
คอร์ด (chord) :
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง โดยจุดปลายของเส้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน (คอร์ดที่ยากที่สุดของวงกลมคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น)
เซกเตอร์ (segter) :
ส่วนของวงกลมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นและเส้นรอบวง มีลักษณะเป็นสามเหลี่ยมฐานโค้ง (พื้นที่ในสามเหลี่ยมฐานโค้ง)
เซกเมนต์ (segment) :
ส่วนของวงกลมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นรอบวง (พื้นที่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด)
อาร์ค (arc) :
ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง
( รอใส่รูป 3 )
- รูปหลายเหลี่ยม : เป็นรูปปิดบนระนาบที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงตั้งแต่สามเส้นขึ้นไป มีจำนวนด้านเท่ากับจำนวนมุม และส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่ไม่ใช่ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เราจะเรียกว่า “เส้นทแยงมุม” ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยม ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม ฯลฯ
( รอใส่รูป 4 )
สูตรคำนวณเรขาคณิตสองมิติ
สำหรับรูป เรขาคณิตสองมิติ น้องๆจะได้รู้จักสูตรในการคำนวณหาพื้นที่และความยาวเส้นรอบรูปของรูปเรขาคณิตสองมิติแบบต่างๆ ซึ่งมีสูตรดังต่อไปนี้
สูตรรูปสามเหลี่ยม
การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม เราจะต้องดูรูปให้ออกและทำความเข้าใจว่าส่วนใด คือ ด้าน ความสูงหรือฐาน
- ความยาวรอบรูป= ผลบวกของด้านทุกด้าน
- พื้นที่สามเหลี่ยมใดๆ= ½ x ฐาน x สูง
- พื้นที่สามเหลี่ยมแบบเฮรอน
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม (A) = s (s-a)(s-b)(s-c)
- ใช้สำหรับหาพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสาม
- กำหนดให้ a, b, c เป็นความยาวของด้านทั้งสาม
- s= ความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป
= ½ x (a+b+c)
- พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 3 / 4 x ด้าน2
( รอใส่ root 2 บรรทัด )
( รอใส่รูป 5 )
สูตรรูปสี่เหลี่ยม
สิ่งที่ต้องระวังในการหาพื้นที่ของรูปสองมิติต่างๆ คือ ต้องทำความเข้าใจความหมายของคำต่างๆให้ดี
เช่น เส้นทแยงมุม ความสูง เส้นกิ่ง เพื่อให้มั่นใจว่าน้องๆนำตัวเลขที่ถูกต้องมาคำนวณ
- ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ = ผลบวกของด้านรวมกันทุกด้าน
- พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
- พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน x ด้าน
- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง
- พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = ½ x ผลบวกของด้านคู่ขนาน x สูง
- พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
- พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = ½ x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง
- พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม
สูตรรูปวงกลม
สำหรับการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปวงกลมจะมีสัญลักษณ์ “” อ่านว่า “pi” ซึ่งเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งมาจากอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โชคดีที่เราไม่ต้องไปหาเองว่าคือเท่าไหร่ เพราะมีการคำนวณไว้แล้วว่ามีค่าประมาณ 3.14 หรือ 22/7 เราสามารถแทนค่านี้ลงไปได้เลย
ความยาวเส้นรอบวง = 2r = d
พื้นที่รูปวงกลม = r2 = d24
โดยที่ r คือ รัศมี และ d คือ เส้นผ่านศูนย์กลาง
พื้นที่รูปวงแหวน = (R2-r2)
โดย R คือ รัศมีวงกลมใหญ่ และ r คือรัศมีวงกลมเล็ก
( รอใส่พายอาร์ )
( รอใส่รูป 7 )
สูตรรูปหลายเหลี่ยม
ในการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม บางครั้งน้องๆจะต้องประยุกต์ใช้สูตรรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมมาใช้ในการคำนวณ
- พื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า = 332 ด้าน2
- พื้นที่รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า = pa/2
โดยที่
p = เส้นรอบรูป
a = เส้นตั้งฉากจากศูนย์กลาง ไปยังด้านใดด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยม
( รอใส่ root )
เรขาคณิตสามมิติ
“เรขาคณิตสามมิติ” หรือเรียกอีกอย่างว่า “รูปทรง” หมายถึงรูปที่มีลักษณะเป็นสามมิติ คือ มีทั้งความกว้าง ความยาว และความลึกหรือความหนา นูนด้วย ให้ความรู้สึกถึงความหนาแน่นและปริมาตร รูปทรงเรขาคณิตสามมิติมีหลายแบบ
1.ปริซึม : เป็นเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่มีความเท่ากันทุกประการ โดยฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านจะเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมที่ปรากฎบนหน้าตัดของปริซึม เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น
( รอใส่รูป 8 )
ปริซึมสี่เหลี่ยมหรือรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส
เราจะเรียกมันว่า “ลูกบาศก์”
( รอใส่รูป 9 )
- ทรงกระบอก : เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน มีสองแบบ คือ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง
- พีระมิด : รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานด้านหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม อีกด้านหนึ่งเป็นยอดแหลมซึ่งอยู่คนละระนาบกับฐาน และมีหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกชื่อพีระมิดนั้นจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมตรงส่วนฐาน เช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะหมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม
- กรวย : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมและมียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน
- ทรงกลม : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และทุกๆจุดบนผิวโค้งอยู่ห่าง
จากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ
สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ มีพื้นฐานมาจากสูตรเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งถ้าน้องๆเข้าใจมา
แล้วก็สามารถนำมาต่อยอดได้เลย
สูตรรูปทรงปริซึม
ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ความยาวรอบรูปฐาน x สูง
พื้นที่ผิวปริซึม = 2(พื้นที่หน้าตัด) x พื้นที่ผิวข้าง
สูตรลูกบาศก์
ปริมาตรลูกบาศก์ = ด้าน x ด้าน x ด้าน
พื้นที่ผิวทั้งหมด = ด้าน x ด้าน x 6
สูตรรูปทรงกระบอกตัน
ปริมาตรทรงกระบอก = r2h
พื้นที่ผิวข้าง = 2rh
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2rh + 2r2
โดยที่ r คือ รัศมี และ h คือ ความสูง
( รอใส่พายอาร์)
สูตรรูปทรงพีระมิด
ปริมาตรพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูงตรง
พื้นที่ผิวข้างแต่ละหน้า = ½ x ฐาน x สูงเอียง
พื้นที่ผิวข้างทั้งหมด = ½ x ฐาน x สูงเอียง x จำนวนหน้า
พื้นที่ผิวพีระมิดทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
สูตรรูปทรงกรวย
ปริมาตรทรงกรวย = ⅓ r2h
พื้นที่ผิวข้าง = rl
พื้นที่ผิวทั้งหมด = r2+ rl
โดยกำหนดให้ r คือ รัศมี, l คือ ความยาวของสูงเอียง, h คือ ความสูงตรง
( รอใส่พายอาร์)
สูตรรูปทรงกลม
ปริมาตรทรงกลม = 4/3r3
พื้นที่ผิวทรงกลม = 4r2
( รอใส่พายอาร์)
สูตรรูปทรงกระบอกที่มีหน้าตัดรูปวงแหวน (รูปทรงกระบอกกรวย)
ปริมาตร
= พื้นที่หน้าตัด x สูง
= (R2-r2)
หาพื้นที่ผิวทั้งหมด
= พื้นที่ผิวนอก + พื้นที่ใน + พื้นที่วงแหวน
= 2 (R2-r2) + 2h(R+r)
หาพื้นที่ผิวข้าง = 2rh
โดยที่ R คือ รัศมีวงนอก, r คือรัศมีวงใน และ h คือ ความสูง
( รอใส่พายอาร์)
น้องๆจะเห็นว่าการเรียนเรื่อง “เรขาคณิต” จะเน้นไปที่การหาความยาวรอบรูป การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปสองมิติและรูปทรงสามมิติเป็นหลัก การจะทำข้อสอบเรื่องนี้ได้จึงไม่ใช่แค่การท่องสูตรเท่านั้น แต่น้องๆต้องสามารถประยุกต์ใช้สูตรให้เป็น บางครั้งต้องอาศัยจินตนการและประสบการณ์ในการมองภาพรูปภาพและรูปทรงแบบต่างๆ ดังนั้นสิ่งสำคัญที่สุด คือ ต้องหัดทำโจทย์ที่หลากหลาย เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้โจทย์ที่พลิกแพลง ใครที่ยังไม่เรียนแล้วไม่ค่อยเข้าใจ มองภาพไม่ออก ถามเพื่อนก็ตอบไม่ได้ พี่ๆ AT HOME มีคอร์สเรียนเรขาคณิตมากมายให้น้องๆได้เข้ามาเรียน ไม่ว่าจะเป็นคอร์สทฤษฎีบท คอร์สปูพื้นเนื้อหาเรขาคณิต ไปจนถึงคอร์สตะลุยโจทย์พร้อมเฉลย ส่วนใครที่เก่งแล้วจะไปลองเรียนคอร์สของพี่ๆม.ปลายในบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยเพื่อเตรียมความพร้อมก่อนเพื่อนก็ได้
ตัวอย่างข้อสอบเรขาคณิตพร้อมเฉลย
ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กำหนดให้นี้เป็นแบบใด
ตอบ ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบน จะเป็นภาพสองมิติดังรูป
สี่เหลี่ยมรูปว่าวรูปหนึ่งเกิดจากการนำสามเหลี่ยมสองรูปมาประกบกันตามแนวขวาง ถ้าพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าวคือ 45 ตารางเซนติเมตร เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่สั้นกว่ายาว 6 เซนติเมตร ความสูงของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกัน 9 เซนติเมตร พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกันเท่าไหร่
ตอบ 27 เซนติเมตร
วงกลมรูปหนึ่งมีเส้นรอบวงยาวกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.5 เมตร พื้นที่วงกลมวงนั้นเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร
ตอบ 3,850 ตารางเซนติเมตร