เลขยกกำลัง

กำหนดให้ a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

an = a x a x a x … x a จำนวน n ตัว

เรียก a ว่า ฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง

เลขยกกำลังคืออะไร ?

             ถ้าจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราจะเขียนจำนวนเหล่านั้นออกมาในรูปของเลขยกกำลัง โดยจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำ ๆ จะเรียกว่า “ฐาน” และจำนวนตัวที่คูณ จะเรียกว่า “เลขชี้กำลัง”เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น เพื่อน ๆ ลองนึกถึงการพับกระดาษ 1 แผ่น

พับกระดาษ 1 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน

พับกระดาษ 2 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 = 4 ส่วน

พับกระดาษ 3 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 x 2 = 8 ส่วน

.

.

.

พับกระดาษ 10 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1,024 ส่วน

กระดาษพับซ้อนกัน 1,024 ทบนี่หนามาก ๆ เลย และในชีวิตจริง ถ้าต้องเขียน 2 x 2 x 2 x  … x 2 ให้ครบตามต้องการก็คงจะเหนื่อยและเสียเวลามาก ๆ นักคณิตศาสตร์จึงนิยมเขียนออกมาในรูปของ “เลขยกกำลัง” ซึ่งประกอบไปด้วยฐานและเลขชี้กำลัง เราสามารถเขียน  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ว่า 210 ซึ่ง 2 คือฐาน และ 10 คือเลขชี้กำลัง และจะอ่าน 210 ว่า…

2 กำลัง 10

2 ยกกำลัง 10

หรือ กำลัง 10 ของ 2

                  เลขยกกำลัง ฐาน และเลขชี้กำลัง

                จำนวนที่สามารถเป็นฐานได้มีหลายรูปแบบ เช่น จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ เศษส่วน ทศนิยม ยกตัวอย่างเช่น 24 (-2)4 ( )2 0.45

ข้อสังเกต: อ่านไม่เหมือนกัน ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน

ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่

(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

ลบสองยกกำลังสี่

-24 = – (2 x 2 x 2 x 2) = -16

จะเห็นว่า (-2)4 มีค่าไม่เท่ากับ -24 แค่ใส่วงเล็บ ผลลัพธ์ก็ต่างกันแล้ว ดังนั้นเพื่อน ๆ ต้องระวังการใส่วงเล็บให้ดีนะ เราลองมาดูตัวอย่างอื่น ๆ เพิ่มกันดีกว่า

54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

(5)4 = (5)(5)(5)(5) = 625

-54 = -(5 x 5 x 5 x 5) = -(625) = -625

(-5)4 = (-5)(-5)(-5)(-5) = (25)(25) = 625

              กรณีนี้ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ สำหรับฐานที่เป็นจำนวนลบ จะเห็นว่า (-5)4 เท่ากับ 54 แต่ไม่เท่ากับ -54 อย่าลืมสังเกตให้ดีนะว่าเครื่องหมายลบอยู่ข้างในหรือข้างนอกวงเล็บ

53 = 5 x 5 x 5 = 125

-53 = -(5 x 5 x 5) = -125

(-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125

             กรณีนี้ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ สำหรับฐานที่เป็นจำนวนลบ จะเห็นว่า (-5)3 เท่ากับ -53 แต่ (-5)3 ไม่เท่ากับ 53

*ข้อสังเกต*

ถ้าฐานเป็นจำนวนลบ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ > ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ

ถ้าฐานเป็นจำนวนลบ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ > ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก

จากตัวอย่างที่ผ่านมา เราสามารถสรุปเป็นตารางได้ว่า

ฐานเลขชี้กำลัง     เลขชี้กำลัง

            จำนวนคี่ จำนวนคู่

ฐาน       จำนวนบวก         ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก       ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก

            จำนวนลบ           ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ        ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก

 การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

สมบัติของการคูณเลขยกกำลัง

ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

1)   am x an  = am + n     (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันคูณกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน)

2)   (am)n = amn    (นำเลขชี้กำลัง n ไปคูณกับ m )

3)   (a x b)n = an x bn   (นำเลขชี้กำลัง n ไปยกกำลังทุกตัวในวงเล็บ)

ตัวอย่างที่ 1-3

ตัวอย่างต่อไปนี้ เน้นไปที่การใช้สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง ทั้งสามสมบัติ โดยได้ยกมาหลายๆตัวอย่าง เพื่อให้สามารถหาคำตอบของเลขยกกำลังได้อย่างง่ายดาย และเลือกใช้สมบัติในการหาคำตอบได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1  จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้

1)      2³x 2²

2)      3³x 3²

3)      5³x 5⁹

4)    (-7)⁵ x (-7)¹²

5)    (0.02)² x (0.02)⁷

วิธีทำ 1)    2³x 2²

เนื่องจากฐานทั้ง 2 เท่ากัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน จะได้

2³x 2²     =    2³⁺²

                  =    2⁵

ตอบ    2⁵

2)  3³x 3²

เนื่องจากฐานทั้ง 2 เท่ากัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน จะได้

3³x 3²     =    3³⁺²

                  =    3⁵

ตอบ    3⁵

3)      5³x 5⁹

เนื่องจากฐานทั้ง 2 เท่ากัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน จะได้

5³x 5⁹      =    5³⁺⁹

                   =     5¹²

ตอบ  5¹²

4)    (-7)⁵ x (-7)¹²

เนื่องจากฐานทั้ง 2 เท่ากัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน จะได้

 (-7)⁵ x (-7)¹²    =    (-7)⁵⁺¹²

                              =  (-7)¹⁷

ตอบ  (-7)¹⁷

5)    (0.02)² x (0.02)⁷

เนื่องจากฐานทั้ง 2 เท่ากัน นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน จะได้

 (0.02)² x (0.02)⁷    =    (0.02)²⁺⁷

                                       =    (0.02)⁹

ตอบ  (0.02)⁹

จากตัวอย่างที่ 1 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 1)  am x an  = am + n

ตัวอย่างที่ 2  จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้

1)    (9²)³

2)    (y⁶)²

3)    (3²)⁵

วิธีทำ 1)     (9²)³     =    9²x³     (นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน คือ 2 x 3)

                                   =    9⁶

ตอบ     9⁶

2)      (y⁶)²      =     y⁶x²     (นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน คือ 6 x 2)

                          =     y¹²

ตอบ      y¹²

3)      (3²)⁵     =    3²x⁵

                          =    3¹⁰

ตอบ     3¹⁰

จากตัวอย่างที่ 2 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 2)  (am)n = amn

ตัวอย่างที่ 3  จงหาค่าของ

1)    (5 x 2)³

2)    (z x p)²

วิธีทำ 1)     (5 x 2)³     =  5³ x 2³     (นำ 3 ไปยกกำลังทุกจำนวน)

ตอบ      5³ x 2³

2)      (z x p)²     =    z² x p²  (นำ 2 ไปยกกำลังทุกจำนวน)

ตอบ     z² x p²

จากตัวอย่างที่ 3 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 3)   (a x b)n = an x bn

ตัวอย่างที่ 4-5

ตัวอย่างต่อไปนี้ ฐานของเลขยกกำลัง มีทั้ง จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม แต่ไม่ว่าฐานจะเป็นยังไง เราก็สามารถหาคำตอบได้เสมอ โดยการทำฐานให้เท่ากัน เมื่อฐานเท่ากันแล้ว ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 4  จงหาค่าของผลคูณของเลขยกกำลังต่อไปนี้ โดยให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

1)     2 x 8²

2)    (0.5)³ x (½)²

3)    (-5)⁴ x 5³

4)    (-3)⁴ x 9 x 27

วิธีทำ 1)     2 x 8²    =     2 x (2³)²         (ทำฐานให้เท่ากัน ซึ่ง 8 = 2³)

                                  =     2 x 2³x² 

                               =     2 x 2⁶              (ฐานเป็น 2 ที่ไม่เขียนเลขชี้กำลัง นั่นคือ เลขชี้กำลังเป็น 1)

                                  =      2¹⁺ ⁶              (เมื่อฐานเท่ากันแล้ว ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน )

                                  =      2⁷

ตอบ   2⁷

2)    (0.5)³ x (½)²   =    (½)³ x (½)²     (ทำฐานให้เท่ากัน ซึ่ง 0.5 = ½)

                                     =    (½)³⁺²           (เมื่อฐานเท่ากันแล้ว ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน)

                                     =    (½)⁵

ตอบ  (½)⁵

3)    เนื่องจาก (-5)⁴   =     (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = 5⁴

    จะได้ (-5)⁴ x 5³   =     5⁴ x 5³

                                   =      5⁴⁺³ 

                                   =      5⁷

ตอบ     5⁷

4)   เนื่องจาก (-3)⁴   =    (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 3⁴

                               9   =    3²

                               27 =    3³

จะได้ (-3)⁴ x 9 x 27 =     3⁴ x 3² x 3³

                                    =      3⁴⁺²⁺³ 

                                    =     3⁹

ตอบ     3⁹

ตัวอย่างที่ 5    จงหาค่าของ a² b³ x a³b

วิธีที่ 1      a² b³ x a³b        =       (a x a x b x b x b) x (a x a x a x b)

                                              =       (axaxaxaxa) x (bxbxbxb)

                                              =       a⁵x b⁴

                                             =       a⁵b⁴

วิธีที่ 2   a² b³ x a³b        =       a² x b³x a³x b

                                           =       a² x a³x b³x b

                                           =       a²⁺³ x b³⁺¹

                                           =       a⁵ x b⁴

                                            =      a⁵b⁴

     เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

                   เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ หมายถึง การเขียนตัวเลข ทั้งตัวเลขจำนวนเต็ม และจำนวนไม่เต็ม ให้อยู่ในรูปแบบเลขยกกำลัง หรือ เรียกอีกอย่างว่า เลขยกกำลังฐานสิบ

การเขียนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ จะใช้เลขจำนวนเต็มคูณกับเลขยกกำลัง โดยเลขยกกำลังจะใช้เลขฐานสิบ และใช้เลขยกกำลังเป็นเลขจำนวนเต็ม หรือเขียนในสมการอย่างง่ายเป็น

A x 10n

โดยที่

A หมายถึง ตัวเลขที่น้อยกว่า 1 แต่ไม่มากกว่า 10 (1≤A<10)

10 หมายถึง ค่าคงที่เลขฐานสิบ

n หมายถึง จำนวนเต็มลบ และเต็มบวกทุกตัวเลข

             ประเภทเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1. เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบ

เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบ หมายถึง ตัวเลขที่เป็นตัวเลขทศนิยมที่มีเลข 0 อยู่ด้านหน้าเป็นต้นไป เช่น 0.1 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบเป็น 1 x 10-1 หรือ 0.001 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบเป็น 1 x 10-3 เป็นต้น

2. เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงบวก

เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงบวก หมายถึง ตัวเลขจำนวนเต็มที่ถูกเขียนไว้ด้านหน้า และหลังจุดทศนิยมทุกจำนวน เช่น 100 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบเป็น 1 x 102, 120.00 หรือ 120 (ไม่มีทศนิยม) เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เชิงลบเป็น 1.2 x 10-2 เป็นต้น

ประโยชน์เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1. ใช้เพื่อบ่งบอกให้ทราบว่าต้องนับเลขนัยสำคัญตามจำนวนเลขยกกำลังที่เป็นบวกเท่านั้น เช่น 1.1 x 103เขียนมาจาก 1100 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเลข 1100 ให้นับเลขนัยสำคัญเป็นจำนวน 4 ตัว
2. ใช้สำหรับเขียนเป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับตัวเลขจำนวนมาก เพื่อให้กระชับ และเข้าใจในความหมายของตัวเลขได้ง่าย เช่น ตัวเลข 0.001 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น 1 x 103

หลักการใช้เลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

1. เลขจำนวนเต็ม เช่น 1200 และเลขทศนิยม เช่น 0.125 สามารถเขียนเป็นเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ทุกกรณี
2. เลขตัวคูณ ทั้งสามารถเขียนเป็นตัวเลขจำนวนเต็ม และเลขทศนิยมได้ทุกกรณี เช่น 1 x 105 เลขตัวคูณ คือ 1 หรือ 0.4 x 105 เลขตัวคูณ คือ 0.4
3. เลขยกกำลังสามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็มบวก และจำนวนเต็มลบ เช่น 1.4 x 105 หรือ 1.4 x 10-5
4. การกำหนดเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์จะใช้จุดทศนิยมมาลดทอนหรือเพิ่มจำนวนตัวเลข แล้วค่อยนำจำนวนตัวเลขก่อนหรือหลังจุดทศนิยมมาเป็นเลขยกกำลัง ดังข้อ 7 และ 8
5. ตัวเลขยกกำลังของเลขจำนวนเต็มจะมีค่าเป็นบวกเสมอ
6. ตัวเลขยกกำลังของเลขทศนิยมจะมีค่าเป็นลบเสมอ
7. ตัวเลขยกกำลังของเลขจำนวนเต็มจะมีจำนวนเท่ากับจำนวนตัวเลขหลังจุดทศนิยม เช่น 140 หากใช้จุดทศนิยมไว้ในตำแหน่งหลังเลข 1 คือ 1.40 ก็จะนับจำนวนตัวเลขได้ 2 ตัว และเมื่อเขียนเป็นเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ก็จะได้ 1.4 x 102

8. ตัวเลขยกกำลังของเลขทศนิยมจะมีจำนวนเท่ากับจำนวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมไปถึงจุดทศนิยมของตำแหน่งใหม่ เช่น 0.00125 หากกำหนดจุดทศนิยมตำแหน่งใหม่เป็น 1.25 ก็จะนับเลขยกกำลังได้ 3 ตัว คือหลังจุดทศนิยมในตัวเลข 001 และเมื่อเขียนเป็นเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ก็จะได้ 1.25 x 10-2

ตัวอย่างการเขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ตัวอย่างที่ 1

ตัวเลข 0.0001 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น 1 x 10-4

ตัวอย่างที่ 2

ตัวเลข 0.1 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น 1 x 10-1

ตัวอย่างที่ 3

ตัวเลข 1020 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น 1.02 x 103

ตัวอย่างที่ 4

ตัวเลข 1200 เขียนเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น 1.2 x 103