จำนวนเต็มคืออะไร
“จำนวนเต็ม” เป็นจำนวนที่ไม่มีทั้งเศษส่วนและทศนิยมเป็นส่วนประกอบ มี 3 ชนิดด้วยกัน คือ
- จำนวนเต็มศูนย์ ได้แก่ 0
- จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,…
- จำนวนเต็มลบ ได้แก่ …,-5, -4, -3, -2, -1
น้องๆสามารถเขียนจำนวนเต็มทั้งสามชนิดบนเส้นจำนวนได้ดังต่อไปนี้ค่ะ
( ใส่รูป 1 )
จำนวนเต็มบวก
“จำนวนเต็มบวก” หรือเรียกอีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ก็คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ขึ้นไป
ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5,… นับไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด และบอกไม่ได้ด้วยว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายคืออะไร
จำนวนเต็มลบ
“จำนวนเต็มลบ” หรือ “เลขติดลบ” เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือจำนวนที่เป็นตัวเลขด้านซ้ายมือของศูนย์บนเส้นจำนวนนั่นเอง
จำนวนเต็มศูนย์
“จำนวนเต็มศูนย์” ก็คือ 0 นั่นเอง น้องๆต้องจำไว้ว่า
- 0 ไม่ใช่จำนวนนับ เพราะเมื่อเรานับจำนวนอะไรก็ตามเราไม่ได้เริ่มนับจาก 0 และเราไม่นิยมพูดว่า เรามีปากกา 0 ด้าม
- ศูนย์อาจจะมีความหมายว่า “ไม่มี” เช่น ไม่มีดินสอ ไม่มีคน เป็นต้น
- หรือศูนย์ไม่ได้แทนความไม่มีก็ได้ อธิบายได้ง่ายๆจากอุณหภูมิ อุณหภูมิที่ 0 องศาเซลเซียส ไม่ได้แปลว่าไม่มีอุณหภูมิ หรือไม่ได้แปลว่าไม่ร้อนไม่หนาว เพราะเราเกิดความรู้สึกในขณะที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียนได้
จำนวนธรรมชาติ
เมื่อเรียนเรื่องจำนวนเต็ม ทุกคนอาจจะได้ยินคำว่า “จำนวนธรรมชาติ” จำนวนธรรมชาติในทางคณิตศาสตร์ จะหมายถึง “จำนวนเต็มบวก” หรือ “จำนวนนับ” ได้แก่ 1, 2, 3, 4,… ส่วนทางตรรกศาสตร์และเซต
จะหมายถึง “จำนวนเต็มไม่เป็นลบ” ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4,…
เส้นจำนวน
“เส้นจำนวน” (Number Line) เป็นเส้นตรงที่ถูกลากขึ้นมาเส้นหนึ่ง แล้วให้จุดหนึ่งบนเส้นนั้นแทนด้วยศูนย์ โดยกำหนดให้จุดที่ห่างออกไปทางซ้ายมือของศูนย์เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มลบ
โดยแต่ละจุดห่างออกไปช่องละหนึ่งหน่วยเท่าๆกัน และจำนวนเต็มลบที่ถัดจากศูนย์จะเริ่มจาก -1, -2, -3
ในทางกลับกัน จุดทางด้านขวามือของศูนย์ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่งหน่วยเท่าๆกัน จะเป็นตัวแทนของจำนวนเต็มบวก โดยเริ่มจาก 1, 2, 3,…
และต้องจำไว้ว่าบนเส้นจำนวนใดๆ จำนวนที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
( ใส่รูป 2 )
การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม
เมื่อเรานำจำนวนเต็มสองจำนวนมาเปรียบเทียบกัน ผลลัพธ์ที่ได้อยู่ในสามรูปแบบนี้
เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ได้แก่
- จำนวนหนึ่งมากกว่าจำนวนหนึ่ง
- จำนวนหนึ่งน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่ง หรือ
- จำนวนทั้งสองเท่ากัน
ซึ่งจากหลักการข้างต้น น้องๆ สามารถแทนค่าได้ดังนี้
ถ้า a, b, c เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ แล้ว
a – b = c แล้ว a > b
a – b = -c แล้ว b > a หรือ a < b
a – b = 0 แล้ว a = b
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
“ค่าสัมบูรณ์” (Absolute Value) ของจำนวนเต็มใดๆ ก็หมายถึง ระยะห่างระหว่างจำนวนเต็มนั้นกับ 0 บนเส้นจำนวน ไม่ว่าจำนวนนั้นจะห่างจากศูนย์ไปทางซ้ายหรือทางขวา ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จึงเป็นได้แค่ศูนย์หรือบวกเสมอ จะเป็นลบไม่ได้ มีสัญลักษณ์ คือ “I I”
ยกตัวอย่างเช่น
ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 เขียนในรูปสัญญลักษณ์ I3I = 3
ค่าสัมบูรณ์ของ -3 คือ 3 เขียนในรูปสัญญลักษณ์ I-3I = 3
อธิบายได้ว่า
3 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 3 หน่วย นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 3 เท่ากับ 3
ส่วน -3 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 3 หน่วยเช่นกัน ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ -3 จึงเท่ากับ 3
ส่วนค่าสัมบูรณ์ของ 0 นั้นจะเท่ากับ 0 เพราะอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 0 หน่วย
( ใส่รูป 3 )
จุดสังเกต
- จำนวนเต็มลบจะมีค่าน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบเสมอ
เช่น -12 < I-15I , – 18 > – 23 แต่ I-18I < I-23I - ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจจะมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้
ขึ้นอยู่กับว่าเป็นเลขอะไร เช่น I-9I > I6I แต่ -9 < 6
จำนวนตรงข้าม
เราสามารถอธิบายง่ายว่า “จำนวนตรงข้าม” หรือในภาษาอังกฤษใช้คำว่าOpposite Number ก็คือ จำนวนสองจำนวนที่อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะเท่ากันมันจะเป็นจำนวนตรงข้ามกัน และผลบวกของจำนวนเต็มที่ตรงข้ามกันจะเท่ากับ 0
เช่น (-2) ตรงข้ามกับ 2
ดังนั้น (-2) + 2 = 0
การ บวก ลบ คูณ หาร จำนวนเต็ม
การบวกจำนวนเต็ม
การบวกจำนวนเต็มนั้นไม่ยากเลย เพียงแต่ต้องจำเทคนิคนิดหน่อยให้ได้ และฝึกทำโจทย์เยอะๆ
น้องๆสามารถทำได้แน่นอน
- การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
: การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก น้องๆต้องนำเอาค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวนมาบวกกัน
แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
เช่น หาผลบวกของ 5 + 8 = ?
ค่าสัมบูรณ์ของ I5I = 5
ค่าสัมบูรณ์ของ I8I = 8
ดังนั้น ถ้าเรานำค่าสัมบูรณ์ของ 5 มาบวกกับค่าสัมบูรณ์ของ 8 แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 15
- การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
: การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ น้องๆต้องนำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวนมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
เช่น หาผลบวกของ (-5) + (-8) = ?
ค่าสัมบูรณ์ของ I-5I = 5
ค่าสัมบูรณ์ของ I-8I = 8
ดังนั้น ถ้าน้องๆนำค่าสัมบูรณ์ของ -5 มาบวกด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -8 แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ -13
- การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ มีสองรูปแบบ
- การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน
: เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
เช่น หาผลบวกของ 7 + (-13) = ?
ค่าสัมบูรณ์ของ I7I = 7
ค่าสัมบูรณ์ของ I-13I = 13
ดังนั้น เอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า คือ 13 ลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าคือ 7 ดังนั้นเราจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มลบ ตามค่าสัมบูรณ์ของ -13 คำตอบที่ได้จึงเป็น -6
- การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
: ผลบวกที่ได้จะเท่ากับ 0 เสมอ
เช่น หาผลบวกของ 3 + (-3) = ?
ค่าสัมบูรณ์ของ 3 เท่ากับ 3
ค่าสัมบูรณ์ของ -3 เท่ากับ 3
ไม่ว่าเราจะเอาค่าสัมบูรณ์ของ 3 มาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ -3 หรือจะเอาค่าสัมบูรณ์ของ -3 มาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของ 3 ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน
- การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
: เราสามารถใช้หลักการเดียวกันกับการบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบได้เลย
เช่น หาผลบวกของ (-12) + 8 = ?
ค่าสัมบูรณ์ของ -12 = 12
ค่าสัมบูรณ์ของ 8 = 8
ดังนั้น เมื่อ 12 – 8 = 4
คำตอบ = -4 (ตอบเป็นจำนวนเต็มลบ ตามตัวที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า)
เทคนิคการจำเรื่องการบวกจำนวนเต็ม
- จำนวนเหมือนกันนำมารวมกัน เครื่องหมายเหมือนเดิม
- จำนวนต่างกันเอาลบกัน เครื่องหมายเหมือนตัวมาก
การลบจำนวนเต็ม
การลบจำนวนเต็ม มีหลักการง่ายมากๆ คือ
ถ้าเราแทน A ด้วยจำนวนใดๆ
เราจะได้ A – B = A + (-B)
เช่น หาผลลบของ -18 – 25 = ?
-18 – 25 = (-18) + (-25)
= (-43)
หรือ หาผลลบของ -9 – (-18) = ?
-9 -18 = (-9) + (18)
= 9
เทคนิคการจำเรื่องการลบจำนวนเต็ม
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
( ใส่รูป 4)
การคูณจำนวนเต็ม
- การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
: จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก = จำนวนเต็มบวก
เช่น 7 x 5 = 35
8 x 3 = 24
- การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
: จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ = จำนวนเต็มลบ
เช่น 9 x (-5) = – (9 x 5)
= – 45
- การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
: จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก = จำนวนเต็มลบ
เช่น (-5) x 6. = – (5 x 6)
= – 30
- การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
: จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ = จำนวนเต็มบวก
เช่น (-7) x (-4) = 28
การหารจำนวนเต็ม
- การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
: ตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ ผลหารจะเป็นจำนวนเต็มบวก
เช่น 24 ÷ 3 = 8
- การหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
: ถ้าตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก และอีกตัวเป็นจำนวนเต็มลบ
ให้นำค่าสัมบูรณ์มาหารกัน และตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
เช่น 35 ÷ (-7) = I35I ÷ I-7I
= (-5)
- การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
: ใช้หลักการเดียวกันกับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
เช่น (-35) ÷ 7 = I-35I ÷ I7I
= (-5)
- การหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
: นำค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร และตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
เช่น (-63) ÷ (-7) = I-63I ÷ I-7I
= 9
เทคนิคการจำเรื่องการคูณและหารจำนวนเต็ม
- ถ้าจำนวนเต็มทั้งสองตัวมีเครื่องหมายเหมือนกัน คำตอบที่ได้จะเป็นบวก
- ถ้าจำนวนเต็มสองจำนวนมีเครื่องหมายต่างกัน คำตอบที่ได้จะเป็นลบ
- ถ้ามีจำนวนมากกว่าสองจำนวน ให้นับจำนวนเครื่องหมาย ถ้าจำนวนเครื่องหมายเป็นเลขคี่ คำตอบจะเป็นจำนวนเต็มลบ ถ้าจำนวนเครื่องหมายเป็นเลขคู่ คำตอบก็จะเป็นจำนวนเต็มบวก
( ใส่รูป 5 )
สมบัติของจำนวนเต็ม
สมบัติการสลับที่
เมื่อให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มใดๆ
สมบัติการสลับที่การบวก : a + b = b + a
สมบัติการสลับที่การคูณ : a x b = b x a
จำให้ดี
การลบไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ แต่น้องๆสามารถเปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกได้ และมันจะสามารถสลับที่กันได้ตามสมบัติการบวก
เช่น 12 – 6 = 12 + (-6)
ดังนั้น 12 – 6 = (-6) + 12
จำให้ดี
การหารไม่มีคุณสมบัติการสลับที่เช่นกัน แต่เราสามารถเปลี่ยนการหารให้อยู่ในรูปการคูณและสลับที่ได้ตามสมบัติการบวก
เช่น 12 ÷ 6 = 12 x ⅙
= ⅙ x 12
สมบัติการเปลี่ยนหมู่
เมื่อให้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก
- (a + b) + c = a + (b + c)
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ
- (a x b) x c = a x (b x c)
สมบัติการแจกแจง
เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว
- a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
- (b + c) x a = (b x a) + (c x a)
สมบัติของ 1
ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว
- a x 1 = a = 1 x a
(จำนวนใดก็ตามคูณ 1 จะเท่ากับจำนวนนั้น)
- a ÷ 1 = a
- a ÷ a = 1
(ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0)
สมบัติของ 0
เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว
- a + 0 = a = 0 + a
(จำนวนใดๆก็ตามบวกศูนย์จะได้เท่ากับจำนวนนั้น)
- a x 0 = 0 = 0 x a
(จำนวนใดๆก็ตามคูณศูนย์จะได้เท่ากับศูนย์)
- 0 ÷ a = 0
(ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0)
- a x b = 0 จะได้ a = 0 หรือ b = 0
(ถ้าผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับศูนย์แล้ว จำนวนใดจำนวนหนึ่งในนั้นต้องเป็นศูนย์)